Úvod

Zadání

Návody

Download

Odevzdávání

Přihlásit

Kalkulačka

Přímé měření:

Přímé měření:

Měření, při kterém měříme hledanou veličinu vhodným měřidlem, nazýváme měřením přímou metodou. Hledané hodnoty měřené veličiny tedy odečítáme přímo na stupnici měřidla (metru, teploměru, hodin,...).

Už na základní škole jste se učili, že každé měřidlo měří jen s určitou přesností. U většiny měřidel se stupnicí je chyba (odchylka) měřidla $ {\frac{{1}}{{2}}}$ nejmenšího dílku stupnice, u rovnoramenných vah polovina hmotnosti nejmenší závažíčka,...Neměli byste tedy zapomenout vždy před začátkem měření určit chybu všech používaných měřidel a hodnoty si zapsat.

Také jste se učili na základní škole, že měření, které je provedené jednou, nemá příliš velkou váhu. Každé měření by se mělo několikrát zopakovat. Nejlépe by bylo provádět toto měření $ \infty$ krát (což by však bylo časově velmi náročné). Při vašich měřeních postačí, když měření zopakujete nejméně 10x, maximální rozsah odhadněte sami vzhledem k časové náročnosti a pracnosti.

Měříte-li tedy víckrát, kterou z naměřených hodnot brát jako tu správnou? Žádnou, z naměřených hodnot se musí spočítat aritmetický průměr, podle vzorce:

$\displaystyle \overline{{a}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$(a1 + a2 + a3 + ... + an),
kde: $ \overline{{a}}$ je hledaný průměr, a1, a2, a3,..., an jsou jednotlivé naměřené hodnoty veličiny a, n je počet, kolikrát jste měřil veličinu a.

Slovně lze tento vzorec vyjádřit takto: Sečtěte všechny naměřené hodnoty a vydělte je počtem čísel, které jste sečetli.

Jak přesnou hodnotu průměru používat (neboli jak hodně zaokrouhlit)? Závisí to na přesnosti měřidla, které k měření používáme. Pokud chyba měřidla je 0,5 mm, pak zaokrouhlíme na setiny. Tedy vždy tak, aby získaná hodnota byla o jedno až dvě desetinná místa přesnější než je hodnota, kterou lze naměřit měřidlem. Pozor, takto zaokrouhlená hodnota ještě není správná výsledná hodnota, je jen pracovní. Pokud používáte ke zpracování nějaký tabulkový procesor, pak není potřeba mu vnucovat nějakou zaokrouhlenou hodnotu!

V tomto bodě zpracování měření si můžete udělat první kontrolu správnosti měření. Kontrola pomocí tzv. střední hodnoty. Provádí se tak, že z naměřených hodnot vyberete nejmenší a největší naměřenou a spočítáte jejich průměr. Pokud se nebude průměr a střední hodnota příliš lišit, pak jste měřili správně. Pokud je mezi těmito hodnotami větší rozdíl, nemusí to nutně znamenat špatné měření. Tento rozdíl může způsobit hodnota, která se výrazně liší od ostatních. Tady si musíte sami rozmyslet, zda je hodnota změřena správně a odpovídá měření nebo jestli jste se spletli, hodnotu vyloučíte z dalšího zpracování nebo ji změříte znovu. Tuto část zprcování musíte tedy provést již při hodině, o chybné hodnotě se poraďte s vyučujícím.

Vypočítaný průměr nemusí být skutečná hodnota měřené fyzikální veličiny. Nahlížejte na něj jako na nejpravděpodobnější hodnotu, kterou jste určili z vašeho měření. Proto je třeba ještě určit chybu (odchylku) měření, která vám dá, pokud ji přičtete k průměru a odečtete od průměru, interval, interval, ve kterém by se měla hodnota s určitou pravděpodobností nacházet (tu zvolíte sami). Tato chyba měření se vypočítá podle následujícího vtahu:

$\displaystyle \Delta$a' = $\displaystyle \sqrt{{
\frac{(\overline{a}-a_1)^2+(\overline{a}-a_2)^2+\cdots+(\overline{a}-a_n)^2}{n(n-1)}}}$,

$ \Delta$a' je chyba měření, a1, a2, a3,..., an jsou jednotlivé naměřené hodnoty veličiny a, n je počet, kolikrát jste měřili veličinu a.

Slovně lze tento vzorec vyjádřit takto: Od vypočteného průměru vždy odečtěte naměřené hodnoty (rozdíly typu ($ \overline{{a}}$ - a1)), umocněte je nadruhou a sečtěte. Takto vzniklý součet vydělte počtem měření a počtem měření snížen o jedno. Výsledek odmocněte.

Pokud tuto hodnotu $ \Delta$a' přičtěte a odečtete od průměru, získáte interval, ve kterém se skutečná hodnota nachází s pravděpodobností 68,3%. Ve vašich měřeních budete požadovat vyšší pravděpodobnost - 95%. Abyste měli interval, pro který bude platit tato pravděpodobnost, musíte vypočítanou hodnotu $ \Delta$a' vynásobit číslem 2,26:

$\displaystyle \Delta$a = 2, 26 . $\displaystyle \Delta$a'.
Toto je chyba měření, kterou jste získali výpočtem nejpravděpodobnějšího výsledku.

Opět vám mohla vyjít hodnota o spoustě desetinných míst a nastává problém se správným zaokrouhlením a použitím. Než se pustíte do zaokrouhlování, je čas provést druhou kontrolu, nikoliv však správnosti výsledku, ale správnosti chyby.

Tato kontrola je velmi jednoduchá, je totiž nemožné získat hodnotu, která by byla přesnější než umožňuje používané měřidlo. Pokud měříte metrem, který má stupnici v milimetrech, pak nemůžete naměřit hodnotu 21,15 mm, ale pouze 22,1 mm nebo 22,2 mm. Kontrolou se tedy bude rozumět porovnání hodnoty $ \Delta$a s chybou použitého měřidla . Pokud mi vyjde větší chyba použitého měřidla, pak se dále nemusím zaokrouhlováním zabývat (Chybou měření se nyní myslí chyba měřidla). Pokud však vyjde větší hodnota $ \Delta$a, musíte provést následující zaokrouhlení: zaokrouhlíme na jednu platnou cifru jinou než je nula! Je to asi trochu nejasné, k lepšímu pochopení snad pomohou následující příklady, které jsou uváděny v tabulce. první sloupec je vypočtená hodnota, v druhém zaokrouhlená, ve třetím je opět vypočtená hodnota, atd.

vyp. hodnota zaokrouhlení vyp. hodnota zaokrouhlení
0,125 0,1 125,001 100
0,55 0,6 16 20
18500 20000 0,0000185 0,00002

Teď ještě, jak chybu správně zapisovat: vždy tak, aby tam byla jen jedna cifra a za ní 10n, kde n je počet nul, které jsou za touto cifrou, nebo 10-n, kde n je počet nul před cifrou plus jedna (tedy je-li tam šet nul, pak píši -7).

Máte-li vypočtený průměr, určenou a správně zaokrouhlenou chybu měření, se kterou jste měřili, můžete již zapsat správný výsledek měření. A opět to nebude úplně jednoduché. Nejprve musíte zaokrouhlit správně průměrnou hodnotu. Zaokrouhlujete tak, aby vypočtený průměr $ \overline{{a}}$ a chyba měření $ \Delta$a byly zaokrouhleny stejně, tedy je-li zaokrouhlena chyba měření na desetiny, je i průměr zaokrouhlen na desetinu apod. Podobně platí, je-li u chyby měření použit zápis s 10n, pak i průměr musí být v tomto tvaru!

Jak tedy zapisovat:
a = (10,0 ± 0,1) m, b = (150 ± 30) cm, c= (0,12 ± 0,09) mm, d = (125 ± 9).10-3 µm.

Nyní máte změřenou veličinu i správně zpracovanou a zapsanou. Ověřili jste si, jestli jste se při měření nějak hrubě nezmýlili. Ale ještě vám zbývá ověřit, zda použitá metoda je správná, tedy jestli výsledek má nějakou validitu (skutečně vypovídá o výsledku). Tento výpočet bude pro vás mít hlavní smysl při závěrečném hodnocení měření. Toto závěrečné hodnocení provádíme pomocí tzv. průměrné relativní odchylky nebo jen relativní odchylky. Její výpočet provedeme podle vzorce:

$\displaystyle \delta$a = $\displaystyle {\frac{{\Delta a}}{{\overline{a}}}}$

tím získáme hodnotu jako desetinné číslo , v praxi bývá tato hodnota většinou uváděna v %, proto se hodnota ještě násobí 100 %. Je-li získaná hodnota do 1,5 %, pak lze ještě měření a zvolenou metodu považovat za správnou.